Modeling the problem as a Relaxed Integer Problem

Modeling the problem as a Relaxed Integer Problem#

Relaxed integer problem#

The following code is the same used for the integer problem with the exception that we have relaxed the binary variable $y_{j}$ to allow it to take non-negative real numbers, so, it is not a binary variable anymore.

def hospital_relaxed_integer_model(n, p, w, h1, h2, h3_1_2, h3_3_4, h3_5_6, h3_7_8, h3_9_10, h4):
    """
    Implements and solves the hospital integer (binary) model.

    Parameters (inputs)
    ----------
    n: number of nurse-doctor tandems in a given day.
    p: number of patients tandems in a given day.
    w: 1-D array with the severity/importance of the patients.
    h1: maximum time seeing patients per nurse-doctor tandem in a given day.
    h2: maximum time spent by nurse-doctor tandem i seeing the patient j, for all i,j.
    h3_1_2: minimum time time spent in patient j, if w[j] in [1,2].
    h3_3_4: minimum time time spent in patient j, if w[j] in [3,4].
    h3_5_6: minimum time time spent in patient j, if w[j] in [5,6].
    h3_7_8: minimum time time spent in patient j, if w[j] in [7,8].
    h3_9_10: minimum time time spent in patient j, if w[j] in [9,10].
    h4: maximum time time spent in patient j.

    Returns (outputs)
    -------
    model: the Pyomo model output.
    t_optimal: a dictionary with the optimal values for the t_ij decision variables.
    y_optimal: a dictionary with the optimal values for the y_j decision variables.
    f_optimal: the optimal value of the objective function.
    """

    # Defining h3 function.
    def h3(w):
        if w in [1, 2] :
           return h3_1_2
        if w in [3, 4] :
           return h3_3_4
        elif w in [5, 6] :
           return h3_5_6
        elif w in [7, 8] :
           return h3_7_8
        elif w in [9, 10] :
           return h3_9_10

    # Initialize a model.
    model = ConcreteModel()

    # Initialize ranges for tandems and patients.
    model.N = range(0,n)
    model.P = range(0,p)

    # Defining t_ij decision variables as non-negative reals (t_ij >= 0).
    model.t = Var(model.N, model.P, domain=NonNegativeReals) 

    # Defining y_j as as non-negative real (y_j >= 0).
    model.y = Var(model.P, domain=NonNegativeReals)

    # Objective function to maximize the weighted sum of time spent with patients
    model.cost = Objective(expr=sum(model.t[i,j] * w[j] for i in model.N for j in model.P), sense=maximize)

    # Constraints
    model.constraints = ConstraintList()

    # The total time spent by each tandem on all patients must be at most h1.
    for i in model.N:
        model.constraints.add(sum(model.t[i,j] for j in model.P) <= h1)

    # The time spent by tandem i on patient j must be at most h2.
    for i in model.N:
        for j in model.P:
            model.constraints.add(model.t[i, j] <= h2)
    
    # The total time a patient is seen by all tandems must be at least h3(w[j])
    for j in model.P:
        model.constraints.add(sum(model.t[i,j] for i in model.N) >= h3(w[j]))

    # The total time a patient is seen by all tandems must be at most h4.
    for j in model.P:
        model.constraints.add(sum(model.t[i,j] for i in model.N) <= h4)

    # y[j] is 1 if sum(model.t[i,j] for i in model.N) > 0.
    M = 1000000
    for j in model.P:
        model.constraints.add(sum(model.t[i,j] for i in model.N) <= model.y[j] * M)
         
    # y[j] is 0 if sum(model.t[i,j] for i in model.N) = 0
    epsilon = 0.000001
    for j in model.P:
        model.constraints.add(epsilon * model.y[j] <= sum(model.t[i,j] for i in model.N))

    # The number of patients seen (sum(model.y[j] for j in model.P)) must be equal to the number of patients (p).
    model.constraints.add(sum(model.y[j] for j in model.P) == p)

    # Load dual information
    # model.dual = Suffix(direction=Suffix.IMPORT)

    # Solve the model
    solver = SolverFactory('glpk')
    results = solver.solve(model, tee=False)  # Set tee=True to show solver output

    # Check solver status and termination condition
    if (results.solver.status == SolverStatus.ok) and (results.solver.termination_condition == TerminationCondition.optimal):
        #print("Solution Found")
        # Extract optimal values for variables and objective
        t_optimal = {(i, j): model.t[i, j].value for i in model.N for j in model.P}
        y_optimal = {j: model.y[j].value for j in model.P}
        f_optimal = model.cost.expr()
    elif results.solver.termination_condition == TerminationCondition.infeasible:
        #print("No feasible solution")
        t_optimal, y_optimal, f_optimal = None, None, None
    else:
        #print("No feasible solution")
        t_optimal, y_optimal, f_optimal = None, None, None

    return model, t_optimal, y_optimal, f_optimal

Preliminary analysis#

In this section we are going to do a preliminary numerical analysis of the problem posed above, for a given set of parameters.

# Parameters definition:
n=50; p=500; h1=6; h2=1; h4=4

h3_1_2 = 0
h3_3_4 = 0.30 
h3_5_6 = 0.55  
h3_7_8 = 0.80 
h3_9_10 = 1 
    
np.random.seed(123)
w = np.random.randint(1, 11, p) 

# Problem execution:
model, t_optimal, y_optimal, f_optimal = hospital_relaxed_integer_model(n, p, w, h1, h2, h3_1_2, h3_3_4, h3_5_6, h3_7_8, h3_9_10, h4)

Optimal values#

Decision variables

The optimal values for the $t_{i j}$ decision variables for the given set of parameters are the following:

t_optimal

{(0, 0): 0.0,
 (0, 1): 0.0,
 (0, 2): 0.0,
 (0, 3): 0.0,
 (0, 4): 0.0,
 (0, 5): 0.0,
 (0, 6): 0.0,
 (0, 7): 0.0,
 (0, 8): 0.0,
 (0, 9): 0.0,
 (0, 10): 0.0,
 (0, 11): 0.0,
 (0, 12): 0.0,
 (0, 13): 0.0,
 (0, 14): 0.0,
 (0, 15): 0.0,
 (0, 16): 0.0,
 (0, 17): 0.0,
 (0, 18): 0.0,
 (0, 19): 0.0,
 (0, 20): 0.0,
 (0, 21): 0.0,
 (0, 22): 0.0,
 (0, 23): 0.0,
 (0, 24): 0.0,
 (0, 25): 0.0,
 (0, 26): 0.0,
 (0, 27): 0.0,
 (0, 28): 0.0,
 (0, 29): 0.0,
 (0, 30): 0.0,
 (0, 31): 0.0,
 (0, 32): 0.0,
 (0, 33): 0.0,
 (0, 34): 0.0,
 (0, 35): 0.0,
 (0, 36): 0.0,
 (0, 37): 0.0,
 (0, 38): 0.0,
 (0, 39): 0.0,
 (0, 40): 0.0,
 (0, 41): 0.0,
 (0, 42): 0.0,
 (0, 43): 0.0,
 (0, 44): 0.0,
 (0, 45): 0.0,
 (0, 46): 0.0,
 (0, 47): 0.0,
 (0, 48): 0.0,
 (0, 49): 0.0,
 (0, 50): 0.0,
 (0, 51): 0.0,
 (0, 52): 0.0,
 (0, 53): 0.0,
 (0, 54): 0.0,
 (0, 55): 0.0,
 (0, 56): 0.0,
 (0, 57): 0.0,
 (0, 58): 0.0,
 (0, 59): 0.0,
 (0, 60): 0.0,
 (0, 61): 0.0,
 (0, 62): 0.0,
 (0, 63): 0.0,
 (0, 64): 0.0,
 (0, 65): 0.0,
 (0, 66): 0.0,
 (0, 67): 0.0,
 (0, 68): 0.0,
 (0, 69): 0.0,
 (0, 70): 0.0,
 (0, 71): 0.0,
 (0, 72): 0.0,
 (0, 73): 0.0,
 (0, 74): 0.0,
 (0, 75): 0.0,
 (0, 76): 0.0,
 (0, 77): 0.0,
 (0, 78): 0.0,
 (0, 79): 0.0,
 (0, 80): 0.0,
 (0, 81): 0.0,
 (0, 82): 0.0,
 (0, 83): 0.0,
 (0, 84): 0.0,
 (0, 85): 0.0,
 (0, 86): 0.0,
 (0, 87): 0.0,
 (0, 88): 0.0,
 (0, 89): 0.0,
 (0, 90): 0.0,
 (0, 91): 0.0,
 (0, 92): 0.0,
 (0, 93): 0.0,
 (0, 94): 0.0,
 (0, 95): 0.0,
 (0, 96): 0.0,
 (0, 97): 0.0,
 (0, 98): 0.0,
 (0, 99): 0.0,
 (0, 100): 0.0,
 (0, 101): 0.0,
 (0, 102): 0.0,
 (0, 103): 0.0,
 (0, 104): 0.0,
 (0, 105): 0.0,
 (0, 106): 0.0,
 (0, 107): 0.0,
 (0, 108): 0.0,
 (0, 109): 0.0,
 (0, 110): 0.0,
 (0, 111): 0.0,
 (0, 112): 0.0,
 (0, 113): 0.0,
 (0, 114): 0.0,
 (0, 115): 0.0,
 (0, 116): 0.0,
 (0, 117): 0.0,
 (0, 118): 0.0,
 (0, 119): 0.0,
 (0, 120): 0.0,
 (0, 121): 0.0,
 (0, 122): 0.0,
 (0, 123): 0.0,
 (0, 124): 0.0,
 (0, 125): 0.0,
 (0, 126): 0.0,
 (0, 127): 0.0,
 (0, 128): 0.0,
 (0, 129): 0.0,
 (0, 130): 0.0,
 (0, 131): 0.0,
 (0, 132): 0.0,
 (0, 133): 0.0,
 (0, 134): 0.0,
 (0, 135): 0.0,
 (0, 136): 0.0,
 (0, 137): 0.0,
 (0, 138): 0.0,
 (0, 139): 0.0,
 (0, 140): 0.0,
 (0, 141): 0.0,
 (0, 142): 0.0,
 (0, 143): 0.0,
 (0, 144): 0.0,
 (0, 145): 0.0,
 (0, 146): 0.0,
 (0, 147): 0.0,
 (0, 148): 0.0,
 (0, 149): 0.0,
 (0, 150): 0.0,
 (0, 151): 0.0,
 (0, 152): 0.0,
 (0, 153): 0.0,
 (0, 154): 0.0,
 (0, 155): 0.0,
 (0, 156): 0.0,
 (0, 157): 0.0,
 (0, 158): 0.0,
 (0, 159): 0.0,
 (0, 160): 0.0,
 (0, 161): 0.0,
 (0, 162): 0.0,
 (0, 163): 0.0,
 (0, 164): 0.0,
 (0, 165): 0.0,
 (0, 166): 0.0,
 (0, 167): 0.0,
 (0, 168): 0.0,
 (0, 169): 0.0,
 (0, 170): 0.0,
 (0, 171): 0.0,
 (0, 172): 0.0,
 (0, 173): 0.0,
 (0, 174): 0.0,
 (0, 175): 0.0,
 (0, 176): 0.0,
 (0, 177): 0.0,
 (0, 178): 0.0,
 (0, 179): 0.0,
 (0, 180): 0.0,
 (0, 181): 0.0,
 (0, 182): 0.0,
 (0, 183): 0.0,
 (0, 184): 0.0,
 (0, 185): 0.0,
 (0, 186): 0.0,
 (0, 187): 0.0,
 (0, 188): 0.0,
 (0, 189): 0.0,
 (0, 190): 0.0,
 (0, 191): 0.0,
 (0, 192): 0.0,
 (0, 193): 0.0,
 (0, 194): 0.0,
 (0, 195): 0.0,
 (0, 196): 0.0,
 (0, 197): 0.0,
 (0, 198): 0.0,
 (0, 199): 0.0,
 (0, 200): 0.0,
 (0, 201): 0.0,
 (0, 202): 0.0,
 (0, 203): 0.0,
 (0, 204): 0.0,
 (0, 205): 0.0,
 (0, 206): 0.0,
 (0, 207): 0.0,
 (0, 208): 0.0,
 (0, 209): 0.0,
 (0, 210): 0.0,
 (0, 211): 0.0,
 (0, 212): 0.0,
 (0, 213): 0.0,
 (0, 214): 0.0,
 (0, 215): 0.0,
 (0, 216): 0.0,
 (0, 217): 0.0,
 (0, 218): 0.0,
 (0, 219): 0.0,
 (0, 220): 0.0,
 (0, 221): 0.0,
 (0, 222): 0.0,
 (0, 223): 0.0,
 (0, 224): 0.0,
 (0, 225): 0.0,
 (0, 226): 0.0,
 (0, 227): 0.0,
 (0, 228): 0.0,
 (0, 229): 0.0,
 (0, 230): 0.0,
 (0, 231): 0.0,
 (0, 232): 0.0,
 (0, 233): 0.0,
 (0, 234): 0.0,
 (0, 235): 0.0,
 (0, 236): 0.0,
 (0, 237): 0.0,
 (0, 238): 0.0,
 (0, 239): 0.0,
 (0, 240): 0.0,
 (0, 241): 0.0,
 (0, 242): 0.0,
 (0, 243): 0.0,
 (0, 244): 0.0,
 (0, 245): 0.0,
 (0, 246): 0.0,
 (0, 247): 0.0,
 (0, 248): 0.0,
 (0, 249): 0.0,
 (0, 250): 0.0,
 (0, 251): 0.0,
 (0, 252): 0.0,
 (0, 253): 0.0,
 (0, 254): 0.0,
 (0, 255): 0.0,
 (0, 256): 0.0,
 (0, 257): 0.0,
 (0, 258): 0.0,
 (0, 259): 0.0,
 (0, 260): 0.0,
 (0, 261): 0.0,
 (0, 262): 0.0,
 (0, 263): 0.0,
 (0, 264): 0.0,
 (0, 265): 0.0,
 (0, 266): 0.0,
 (0, 267): 0.0,
 (0, 268): 0.0,
 (0, 269): 0.0,
 (0, 270): 0.0,
 (0, 271): 0.0,
 (0, 272): 0.0,
 (0, 273): 0.0,
 (0, 274): 0.0,
 (0, 275): 0.0,
 (0, 276): 0.0,
 (0, 277): 0.0,
 (0, 278): 0.0,
 (0, 279): 0.0,
 (0, 280): 0.0,
 (0, 281): 0.0,
 (0, 282): 0.0,
 (0, 283): 0.0,
 (0, 284): 0.0,
 (0, 285): 0.0,
 (0, 286): 0.0,
 (0, 287): 0.0,
 (0, 288): 0.0,
 (0, 289): 0.0,
 (0, 290): 0.0,
 (0, 291): 0.0,
 (0, 292): 0.0,
 (0, 293): 0.0,
 (0, 294): 0.0,
 (0, 295): 0.0,
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 (0, 298): 0.0,
 (0, 299): 0.0,
 (0, 300): 0.0,
 (0, 301): 0.0,
 (0, 302): 0.0,
 (0, 303): 0.0,
 (0, 304): 0.0,
 (0, 305): 0.0,
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 (0, 307): 0.0,
 (0, 308): 0.0,
 (0, 309): 0.0,
 (0, 310): 0.0,
 (0, 311): 0.0,
 (0, 312): 0.0,
 (0, 313): 0.0,
 (0, 314): 0.0,
 (0, 315): 0.0,
 (0, 316): 0.0,
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 (0, 318): 0.0,
 (0, 319): 0.0,
 (0, 320): 0.0,
 (0, 321): 0.0,
 (0, 322): 0.0,
 (0, 323): 0.0,
 (0, 324): 0.0,
 (0, 325): 0.0,
 (0, 326): 0.0,
 (0, 327): 0.0,
 (0, 328): 0.0,
 (0, 329): 0.0,
 (0, 330): 0.0,
 (0, 331): 0.0,
 (0, 332): 0.0,
 (0, 333): 0.0,
 (0, 334): 0.0,
 (0, 335): 0.0,
 (0, 336): 0.0,
 (0, 337): 0.0,
 (0, 338): 0.0,
 (0, 339): 0.0,
 (0, 340): 0.0,
 (0, 341): 0.0,
 (0, 342): 0.0,
 (0, 343): 0.0,
 (0, 344): 0.0,
 (0, 345): 0.0,
 (0, 346): 0.0,
 (0, 347): 0.0,
 (0, 348): 0.0,
 (0, 349): 0.0,
 (0, 350): 0.0,
 (0, 351): 0.0,
 (0, 352): 0.0,
 (0, 353): 0.0,
 (0, 354): 0.0,
 (0, 355): 0.0,
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 (0, 357): 0.0,
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 (0, 384): 0.0,
 (0, 385): 0.0,
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 (0, 387): 0.0,
 (0, 388): 0.0,
 (0, 389): 0.0,
 (0, 390): 0.0,
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 (0, 392): 0.0,
 (0, 393): 0.0,
 (0, 394): 0.0,
 (0, 395): 0.0,
 (0, 396): 0.0,
 (0, 397): 0.0,
 (0, 398): 0.0,
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 (1, 449): 0.0,
 (1, 450): 0.0,
 (1, 451): 0.0,
 (1, 452): 0.0,
 (1, 453): 0.0,
 (1, 454): 0.0,
 (1, 455): 0.0,
 (1, 456): 0.0,
 (1, 457): 0.0,
 (1, 458): 0.0,
 (1, 459): 0.0,
 (1, 460): 0.0,
 (1, 461): 0.0,
 (1, 462): 0.0,
 (1, 463): 0.0,
 (1, 464): 0.0,
 (1, 465): 0.0,
 (1, 466): 0.0,
 (1, 467): 0.0,
 (1, 468): 0.0,
 (1, 469): 0.0,
 (1, 470): 0.0,
 (1, 471): 0.0,
 (1, 472): 0.0,
 (1, 473): 0.0,
 (1, 474): 0.0,
 (1, 475): 0.0,
 (1, 476): 0.0,
 (1, 477): 0.0,
 (1, 478): 0.0,
 (1, 479): 0.0,
 (1, 480): 0.0,
 (1, 481): 0.0,
 (1, 482): 0.0,
 (1, 483): 0.0,
 (1, 484): 0.0,
 (1, 485): 0.0,
 (1, 486): 0.0,
 (1, 487): 0.0,
 (1, 488): 0.0,
 (1, 489): 0.0,
 (1, 490): 0.0,
 (1, 491): 0.0,
 (1, 492): 0.0,
 (1, 493): 0.0,
 (1, 494): 0.0,
 (1, 495): 0.0,
 (1, 496): 0.0,
 (1, 497): 0.0,
 (1, 498): 0.0,
 (1, 499): 0.0,
 ...}

The optimal values for the $y_{j}$ decision variables for the given set of parameters are the following:

y_optimal

{0: 3e-07,
 1: 3e-07,
 2: 8e-07,
 3: 0.0,
 4: 3e-07,
 5: 1e-06,
 6: 8e-07,
 7: 0.0,
 8: 0.0,
 9: 0.0,
 10: 1e-06,
 11: 0.0,
 12: 0.0,
 13: 4e-06,
 14: 3e-07,
 15: 5.5000000000002e-07,
 16: 0.0,
 17: 0.0,
 18: 5.5e-07,
 19: 0.0,
 20: 8e-07,
 21: 3e-07,
 22: 3e-07,
 23: 5.5e-07,
 24: 8e-07,
 25: 3e-07,
 26: 5.5e-07,
 27: 1e-06,
 28: 0.0,
 29: 8e-07,
 30: 4e-06,
 31: 3e-07,
 32: 5.5e-07,
 33: 8e-07,
 34: 0.0,
 35: 5.5e-07,
 36: 8e-07,
 37: 3e-07,
 38: 0.0,
 39: 1e-06,
 40: 3e-07,
 41: 5.5e-07,
 42: 0.0,
 43: 3e-07,
 44: 8e-07,
 45: 3e-07,
 46: 5.5e-07,
 47: 5.5e-07,
 48: 8e-07,
 49: 3e-07,
 50: 0.0,
 51: 8e-07,
 52: 5.5e-07,
 53: 8e-07,
 54: 8e-07,
 55: 8e-07,
 56: 0.0,
 57: 5.5e-07,
 58: 8e-07,
 59: 4e-06,
 60: 3e-07,
 61: 5.5e-07,
 62: 1e-06,
 63: 0.0,
 64: 3e-07,
 65: 0.0,
 66: 0.0,
 67: 3e-07,
 68: 5.5e-07,
 69: 4e-06,
 70: 0.0,
 71: 1e-06,
 72: 0.0,
 73: 8e-07,
 74: 3e-07,
 75: 3e-07,
 76: 5.5e-07,
 77: 4e-06,
 78: 7.99999999999997e-07,
 79: 4.00000000000001e-06,
 80: 3e-07,
 81: 3e-07,
 82: 3e-07,
 83: 3e-07,
 84: 1e-06,
 85: 8e-07,
 86: 4e-06,
 87: 8e-07,
 88: 8e-07,
 89: 3e-07,
 90: 4e-06,
 91: 8e-07,
 92: 8e-07,
 93: 8e-07,
 94: 0.0,
 95: 2.99999999999984e-07,
 96: 5.5e-07,
 97: 3e-07,
 98: 0.0,
 99: 0.0,
 100: 5.5e-07,
 101: 1e-06,
 102: 8e-07,
 103: 1e-06,
 104: 1e-06,
 105: 0.0,
 106: 0.0,
 107: 3e-07,
 108: 0.0,
 109: 3e-07,
 110: 5.5e-07,
 111: 8e-07,
 112: 8e-07,
 113: 0.0,
 114: 5.5e-07,
 115: 3e-07,
 116: 3e-07,
 117: 8e-07,
 118: 8e-07,
 119: 1e-06,
 120: 8e-07,
 121: 5.5e-07,
 122: 5.5e-07,
 123: 8e-07,
 124: 0.0,
 125: 0.0,
 126: 1e-06,
 127: 1e-06,
 128: 1e-06,
 129: 5.5e-07,
 130: 1e-06,
 131: 8e-07,
 132: 0.0,
 133: 8e-07,
 134: 1e-06,
 135: 8e-07,
 136: 1e-06,
 137: 0.0,
 138: 8e-07,
 139: 0.0,
 140: 8e-07,
 141: 1e-06,
 142: 1e-06,
 143: 8e-07,
 144: 0.0,
 145: 3e-07,
 146: 0.0,
 147: 1e-06,
 148: 8e-07,
 149: 5.5e-07,
 150: 0.0,
 151: 3e-07,
 152: 5.5e-07,
 153: 3e-07,
 154: 3e-07,
 155: 1e-06,
 156: 3e-07,
 157: 3e-07,
 158: 8e-07,
 159: 8e-07,
 160: 4e-06,
 161: 0.0,
 162: 3e-07,
 163: 1e-06,
 164: 3e-07,
 165: 8e-07,
 166: 1e-06,
 167: 1e-06,
 168: 3e-07,
 169: 3e-07,
 170: 5.5e-07,
 171: 8e-07,
 172: 0.0,
 173: 1e-06,
 174: 8e-07,
 175: 8e-07,
 176: 5.5e-07,
 177: 5.5e-07,
 178: 5.5e-07,
 179: 0.0,
 180: 1e-06,
 181: 4e-06,
 182: 3e-07,
 183: 5.5e-07,
 184: 0.0,
 185: 5.5e-07,
 186: 1e-06,
 187: 3e-07,
 188: 5.5e-07,
 189: 3e-07,
 190: 0.0,
 191: 3e-07,
 192: 8e-07,
 193: 8e-07,
 194: 3e-07,
 195: 5.5e-07,
 196: 0.0,
 197: 8e-07,
 198: 5.5e-07,
 199: 1e-06,
 200: 0.0,
 201: 3e-07,
 202: 1e-06,
 203: 5.5e-07,
 204: 0.0,
 205: 4e-06,
 206: 3e-07,
 207: 3e-07,
 208: 3e-07,
 209: 0.0,
 210: 8e-07,
 211: 8e-07,
 212: 3e-07,
 213: 0.0,
 214: 8e-07,
 215: 3e-07,
 216: 8e-07,
 217: 5.5e-07,
 218: 4e-06,
 219: 1e-06,
 220: 1e-06,
 221: 5.5e-07,
 222: 8e-07,
 223: 1e-06,
 224: 5.5e-07,
 225: 1.25000000000028e-06,
 226: 3e-07,
 227: 5.5e-07,
 228: 3e-07,
 229: 3e-07,
 230: 0.0,
 231: 8e-07,
 232: 1e-06,
 233: 5.5e-07,
 234: 8e-07,
 235: 8e-07,
 236: 8e-07,
 237: 5.5e-07,
 238: 0.0,
 239: 0.0,
 240: 1e-06,
 241: 0.0,
 242: 0.0,
 243: 5.5e-07,
 244: 5.5e-07,
 245: 5.5e-07,
 246: 5.5e-07,
 247: 0.0,
 248: 8e-07,
 249: 0.0,
 250: 3e-07,
 251: 3e-07,
 252: 8e-07,
 253: 8e-07,
 254: 3e-07,
 255: 8e-07,
 256: 0.0,
 257: 1e-06,
 258: 5.5e-07,
 259: 0.0,
 260: 8e-07,
 261: 5.5e-07,
 262: 1.55e-06,
 263: 0.0,
 264: 3e-07,
 265: 0.0,
 266: 3e-07,
 267: 8e-07,
 268: 8e-07,
 269: 8e-07,
 270: 5.5e-07,
 271: 3e-07,
 272: 8e-07,
 273: 3e-07,
 274: 5.5e-07,
 275: 0.0,
 276: 5.5e-07,
 277: 1e-06,
 278: 0.0,
 279: 3e-07,
 280: 1e-06,
 281: 0.0,
 282: 5.5e-07,
 283: 8e-07,
 284: 0.0,
 285: 5.5e-07,
 286: 0.0,
 287: 8e-07,
 288: 0.0,
 289: 3e-07,
 290: 0.0,
 291: 8e-07,
 292: 3e-07,
 293: 8e-07,
 294: 5.5e-07,
 295: 0.0,
 296: 0.0,
 297: 0.0,
 298: 3e-07,
 299: 8e-07,
 300: 5.5e-07,
 301: 1e-06,
 302: 0.0,
 303: 5.5e-07,
 304: 3e-07,
 305: 8e-07,
 306: 5.5e-07,
 307: 8e-07,
 308: 0.0,
 309: 8e-07,
 310: 0.0,
 311: 3e-07,
 312: 0.0,
 313: 3e-07,
 314: 0.0,
 315: 1e-06,
 316: 5.5e-07,
 317: 0.0,
 318: 5.5e-07,
 319: 3e-07,
 320: 3e-07,
 321: 3e-07,
 322: 0.0,
 323: 3e-07,
 324: 0.0,
 325: 3e-07,
 326: 8e-07,
 327: 1e-06,
 328: 0.0,
 329: 3e-07,
 330: 1e-06,
 331: 8e-07,
 332: 0.0,
 333: 5.5e-07,
 334: 5.5e-07,
 335: 8e-07,
 336: 0.0,
 337: 8e-07,
 338: 1e-06,
 339: 1e-06,
 340: 0.0,
 341: 0.0,
 342: 0.0,
 343: 8e-07,
 344: 5.5e-07,
 345: 3e-07,
 346: 0.0,
 347: 5.5e-07,
 348: 1e-06,
 349: 5.5e-07,
 350: 1e-06,
 351: 3e-07,
 352: 5.5e-07,
 353: 0.0,
 354: 1e-06,
 355: 0.0,
 356: 1e-06,
 357: 0.0,
 358: 5.5e-07,
 359: 1e-06,
 360: 1e-06,
 361: 5.5e-07,
 362: 8e-07,
 363: 1e-06,
 364: 8e-07,
 365: 1e-06,
 366: 3e-07,
 367: 0.0,
 368: 0.0,
 369: 1e-06,
 370: 1e-06,
 371: 5.5e-07,
 372: 3e-07,
 373: 5.5e-07,
 374: 5.5e-07,
 375: 3e-07,
 376: 3e-07,
 377: 8e-07,
 378: 3e-07,
 379: 0.0,
 380: 3e-07,
 381: 1e-06,
 382: 3e-07,
 383: 8e-07,
 384: 3e-07,
 385: 3e-07,
 386: 0.0,
 387: 1e-06,
 388: 1e-06,
 389: 0.0,
 390: 3e-07,
 391: 3e-07,
 392: 8e-07,
 393: 1e-06,
 394: 3e-07,
 395: 8e-07,
 396: 1e-06,
 397: 8e-07,
 398: 0.0,
 399: 5.5e-07,
 400: 8e-07,
 401: 5.5e-07,
 402: 8e-07,
 403: 1e-06,
 404: 0.0,
 405: 3e-07,
 406: 8e-07,
 407: 5.5e-07,
 408: 3e-07,
 409: 8e-07,
 410: 3e-07,
 411: 8e-07,
 412: 0.0,
 413: 8e-07,
 414: 8e-07,
 415: 1e-06,
 416: 8e-07,
 417: 1e-06,
 418: 0.0,
 419: 5.5e-07,
 420: 3e-07,
 421: 3e-07,
 422: 5.5e-07,
 423: 3e-07,
 424: 3e-07,
 425: 1.2e-06,
 426: 8e-07,
 427: 0.0,
 428: 1e-06,
 429: 0.0,
 430: 0.0,
 431: 5.5e-07,
 432: 8e-07,
 433: 3e-07,
 434: 5.5e-07,
 435: 1e-06,
 436: 3e-07,
 437: 5.50000000000003e-07,
 438: 1.39999999999999e-06,
 439: 8e-07,
 440: 3e-07,
 441: 8e-07,
 442: 8e-07,
 443: 8e-07,
 444: 5.5e-07,
 445: 8e-07,
 446: 1e-06,
 447: 5.5e-07,
 448: 0.0,
 449: 8e-07,
 450: 8e-07,
 451: 3e-07,
 452: 5.5e-07,
 453: 0.0,
 454: 0.0,
 455: 8e-07,
 456: 3e-07,
 457: 8e-07,
 458: 1e-06,
 459: 2e-06,
 460: 5.5e-07,
 461: 5.5e-07,
 462: 5.5e-07,
 463: 8e-07,
 464: 8e-07,
 465: 1.6e-06,
 466: 1e-06,
 467: 5.5e-07,
 468: 0.0,
 469: 5.5e-07,
 470: 5.5e-07,
 471: 1e-06,
 472: 1e-06,
 473: 5.5e-07,
 474: 0.0,
 475: 0.0,
 476: 8e-07,
 477: 0.0,
 478: 2.45e-06,
 479: 5.5e-07,
 480: 8e-07,
 481: 5.5e-07,
 482: 5.5e-07,
 483: 3e-07,
 484: 5.5e-07,
 485: 8e-07,
 486: 3e-07,
 487: 5.5e-07,
 488: 3e-07,
 489: 5.5e-07,
 490: 3e-07,
 491: 3e-07,
 492: 5.5e-07,
 493: 1e-06,
 494: 0.0,
 495: 8e-07,
 496: 1e-06,
 497: 1e-06,
 498: 5.5e-07,
 499: 499.9997008}

For example, the time spent in patient $j = 5$ by tandem $i = 1$ , i.e. $t_{15}$ , is:

t_optimal[0,4] # 0 h

0.0

Objective function

In this case the optimal value for the objective function is the following:

f_optimal

2316.600000000006

Time spent in patients#

Now we are going to analyze the time spent in the patients, in this particular case.

We built a function that computes the time spent seeing patient j in a given day . It’s important to notice that a patient could be seen by several nurse-doctor tandems.

# Time spent seeing patient j in a given day (he could be seen by several nurse-doctor tandems).
def time_seeing_patient(j):
    return np.sum([t_optimal[i, j] for i in range(0,n)])

For example, total time spent in patient $j = 45$ , that is, $\sum_{i = 1}^{n} t_{i 45}$ , is the following:

time_seeing_patient(44)

0.8

Using the previous function we can collect the total time spent in each patient in an array.

total_times_per_patient = np.array([time_seeing_patient(j) for j in range(0,p)])

total_times_per_patient

array([0.3 , 0.3 , 0.8 , 0.  , 0.3 , 1.  , 0.8 , 0.  , 0.  , 0.  , 1.  ,
       0.  , 0.  , 4.  , 0.3 , 0.55, 0.  , 0.  , 0.55, 0.  , 0.8 , 0.3 ,
       0.3 , 0.55, 0.8 , 0.3 , 0.55, 1.  , 0.  , 0.8 , 4.  , 0.3 , 0.55,
       0.8 , 0.  , 0.55, 0.8 , 0.3 , 0.  , 1.  , 0.3 , 0.55, 0.  , 0.3 ,
       0.8 , 0.3 , 0.55, 0.55, 0.8 , 0.3 , 0.  , 0.8 , 0.55, 0.8 , 0.8 ,
       0.8 , 0.  , 0.55, 0.8 , 4.  , 0.3 , 0.55, 1.  , 0.  , 0.3 , 0.  ,
       0.  , 0.3 , 0.55, 4.  , 0.  , 1.  , 0.  , 0.8 , 0.3 , 0.3 , 0.55,
       4.  , 0.8 , 4.  , 0.3 , 0.3 , 0.3 , 0.3 , 1.  , 0.8 , 4.  , 0.8 ,
       0.8 , 0.3 , 4.  , 0.8 , 0.8 , 0.8 , 0.  , 0.3 , 0.55, 0.3 , 0.  ,
       0.  , 0.55, 1.  , 0.8 , 1.  , 1.  , 0.  , 0.  , 0.3 , 0.  , 0.3 ,
       0.55, 0.8 , 0.8 , 0.  , 0.55, 0.3 , 0.3 , 0.8 , 0.8 , 1.  , 0.8 ,
       0.55, 0.55, 0.8 , 0.  , 0.  , 1.  , 1.  , 1.  , 0.55, 1.  , 0.8 ,
       0.  , 0.8 , 1.  , 0.8 , 1.  , 0.  , 0.8 , 0.  , 0.8 , 1.  , 1.  ,
       0.8 , 0.  , 0.3 , 0.  , 1.  , 0.8 , 0.55, 0.  , 0.3 , 0.55, 0.3 ,
       0.3 , 1.  , 0.3 , 0.3 , 0.8 , 0.8 , 4.  , 0.  , 0.3 , 1.  , 0.3 ,
       0.8 , 1.  , 1.  , 0.3 , 0.3 , 0.55, 0.8 , 0.  , 1.  , 0.8 , 0.8 ,
       0.55, 0.55, 0.55, 0.  , 1.  , 4.  , 0.3 , 0.55, 0.  , 0.55, 1.  ,
       0.3 , 0.55, 0.3 , 0.  , 0.3 , 0.8 , 0.8 , 0.3 , 0.55, 0.  , 0.8 ,
       0.55, 1.  , 0.  , 0.3 , 1.  , 0.55, 0.  , 4.  , 0.3 , 0.3 , 0.3 ,
       0.  , 0.8 , 0.8 , 0.3 , 0.  , 0.8 , 0.3 , 0.8 , 0.55, 4.  , 1.  ,
       1.  , 0.55, 0.8 , 1.  , 0.55, 1.25, 0.3 , 0.55, 0.3 , 0.3 , 0.  ,
       0.8 , 1.  , 0.55, 0.8 , 0.8 , 0.8 , 0.55, 0.  , 0.  , 1.  , 0.  ,
       0.  , 0.55, 0.55, 0.55, 0.55, 0.  , 0.8 , 0.  , 0.3 , 0.3 , 0.8 ,
       0.8 , 0.3 , 0.8 , 0.  , 1.  , 0.55, 0.  , 0.8 , 0.55, 1.55, 0.  ,
       0.3 , 0.  , 0.3 , 0.8 , 0.8 , 0.8 , 0.55, 0.3 , 0.8 , 0.3 , 0.55,
       0.  , 0.55, 1.  , 0.  , 0.3 , 1.  , 0.  , 0.55, 0.8 , 0.  , 0.55,
       0.  , 0.8 , 0.  , 0.3 , 0.  , 0.8 , 0.3 , 0.8 , 0.55, 0.  , 0.  ,
       0.  , 0.3 , 0.8 , 0.55, 1.  , 0.  , 0.55, 0.3 , 0.8 , 0.55, 0.8 ,
       0.  , 0.8 , 0.  , 0.3 , 0.  , 0.3 , 0.  , 1.  , 0.55, 0.  , 0.55,
       0.3 , 0.3 , 0.3 , 0.  , 0.3 , 0.  , 0.3 , 0.8 , 1.  , 0.  , 0.3 ,
       1.  , 0.8 , 0.  , 0.55, 0.55, 0.8 , 0.  , 0.8 , 1.  , 1.  , 0.  ,
       0.  , 0.  , 0.8 , 0.55, 0.3 , 0.  , 0.55, 1.  , 0.55, 1.  , 0.3 ,
       0.55, 0.  , 1.  , 0.  , 1.  , 0.  , 0.55, 1.  , 1.  , 0.55, 0.8 ,
       1.  , 0.8 , 1.  , 0.3 , 0.  , 0.  , 1.  , 1.  , 0.55, 0.3 , 0.55,
       0.55, 0.3 , 0.3 , 0.8 , 0.3 , 0.  , 0.3 , 1.  , 0.3 , 0.8 , 0.3 ,
       0.3 , 0.  , 1.  , 1.  , 0.  , 0.3 , 0.3 , 0.8 , 1.  , 0.3 , 0.8 ,
       1.  , 0.8 , 0.  , 0.55, 0.8 , 0.55, 0.8 , 1.  , 0.  , 0.3 , 0.8 ,
       0.55, 0.3 , 0.8 , 0.3 , 0.8 , 0.  , 0.8 , 0.8 , 1.  , 0.8 , 1.  ,
       0.  , 0.55, 0.3 , 0.3 , 0.55, 0.3 , 0.3 , 1.2 , 0.8 , 0.  , 1.  ,
       0.  , 0.  , 0.55, 0.8 , 0.3 , 0.55, 1.  , 0.3 , 0.55, 1.4 , 0.8 ,
       0.3 , 0.8 , 0.8 , 0.8 , 0.55, 0.8 , 1.  , 0.55, 0.  , 0.8 , 0.8 ,
       0.3 , 0.55, 0.  , 0.  , 0.8 , 0.3 , 0.8 , 1.  , 2.  , 0.55, 0.55,
       0.55, 0.8 , 0.8 , 1.6 , 1.  , 0.55, 0.  , 0.55, 0.55, 1.  , 1.  ,
       0.55, 0.  , 0.  , 0.8 , 0.  , 2.45, 0.55, 0.8 , 0.55, 0.55, 0.3 ,
       0.55, 0.8 , 0.3 , 0.55, 0.3 , 0.55, 0.3 , 0.3 , 0.55, 1.  , 0.  ,
       0.8 , 1.  , 1.  , 0.55, 0.8 ])

Average time spent per patient#

Now we can compute some statistics over the time spent in patients, like for example the average time spent per patient.

np.mean(total_times_per_patient)

0.6000000000000005

Max time spent per patient#

The maximum time spent in a single patient is enforced by $h_{4}$ constriant, that in this case has been fixed to $4$ .

np.max(total_times_per_patient) # 4 hours

4.000000000000008

Min time spent per patient#

The minimun time spent in a single patient is set by $h_{3}^{12}$ , in this case, that has been fixed to $0.1$ .

np.min(total_times_per_patient) 

0.0

Median of time spent per patient#

np.median(total_times_per_patient) 

0.55

$75$ -quantile of time spent per patient#

np.quantile(total_times_per_patient, 0.75)

0.8

$25$ -quantile time spent per patient#

np.quantile(total_times_per_patient, 0.25)

0.3

Number of patients seen#

The number of patients seen is $p = 500$ even though we have set $h_{3}^{12} = 0$ , so the new constraint is working well. In addition, we can see as the number of patient seen match with $\sum_{j = 1}^{p} y_{j}$ , which is something that must always be fulfilled in this new version of the problem.

np.sum(total_times_per_patient > 0)

np.sum(list(y_optimal.values()))

500.0

Comparison with the integer (not relaxed) model#

If the binary variable $y_{j}$ in the integer model is relaxed in the interval $[0, 1] \subset R$ , no changes are produced, since $y_{j}$ carries on working as a binary variable, so it is still performing like it did in the non relaxed integer model.

However, if $y_{j}$ is relaxed to $R^{+}$ (positive real numbers), then the results of the relaxed model are slightly different to those of the non relaxed, concretely the number of patient seen $(396)$ is not maximum $(p = 500)$ , so the particular new constraint of this model (with respect to the linear one) is not working, since it is not enforcing the number of patients seen to be equal to $p$ , and this is because $y_{j}$ is not working as a binary variable, and, therefore, it is not longer useful to impose that condition.