Modeling the problem as a Relaxed Integer Problem#
Relaxed integer problem#
The following code is the same used for the integer problem with the exception that we have relaxed the binary variable \(y_j\) to allow it to take non-negative real numbers, so, it is not a binary variable anymore.
def hospital_relaxed_integer_model(n, p, w, h1, h2, h3_1_2, h3_3_4, h3_5_6, h3_7_8, h3_9_10, h4):
"""
Implements and solves the hospital integer (binary) model.
Parameters (inputs)
----------
n: number of nurse-doctor tandems in a given day.
p: number of patients tandems in a given day.
w: 1-D array with the severity/importance of the patients.
h1: maximum time seeing patients per nurse-doctor tandem in a given day.
h2: maximum time spent by nurse-doctor tandem i seeing the patient j, for all i,j.
h3_1_2: minimum time time spent in patient j, if w[j] in [1,2].
h3_3_4: minimum time time spent in patient j, if w[j] in [3,4].
h3_5_6: minimum time time spent in patient j, if w[j] in [5,6].
h3_7_8: minimum time time spent in patient j, if w[j] in [7,8].
h3_9_10: minimum time time spent in patient j, if w[j] in [9,10].
h4: maximum time time spent in patient j.
Returns (outputs)
-------
model: the Pyomo model output.
t_optimal: a dictionary with the optimal values for the t_ij decision variables.
y_optimal: a dictionary with the optimal values for the y_j decision variables.
f_optimal: the optimal value of the objective function.
"""
# Defining h3 function.
def h3(w):
if w in [1, 2] :
return h3_1_2
if w in [3, 4] :
return h3_3_4
elif w in [5, 6] :
return h3_5_6
elif w in [7, 8] :
return h3_7_8
elif w in [9, 10] :
return h3_9_10
# Initialize a model.
model = ConcreteModel()
# Initialize ranges for tandems and patients.
model.N = range(0,n)
model.P = range(0,p)
# Defining t_ij decision variables as non-negative reals (t_ij >= 0).
model.t = Var(model.N, model.P, domain=NonNegativeReals)
# Defining y_j as as non-negative real (y_j >= 0).
model.y = Var(model.P, domain=NonNegativeReals)
# Objective function to maximize the weighted sum of time spent with patients
model.cost = Objective(expr=sum(model.t[i,j] * w[j] for i in model.N for j in model.P), sense=maximize)
# Constraints
model.constraints = ConstraintList()
# The total time spent by each tandem on all patients must be at most h1.
for i in model.N:
model.constraints.add(sum(model.t[i,j] for j in model.P) <= h1)
# The time spent by tandem i on patient j must be at most h2.
for i in model.N:
for j in model.P:
model.constraints.add(model.t[i, j] <= h2)
# The total time a patient is seen by all tandems must be at least h3(w[j])
for j in model.P:
model.constraints.add(sum(model.t[i,j] for i in model.N) >= h3(w[j]))
# The total time a patient is seen by all tandems must be at most h4.
for j in model.P:
model.constraints.add(sum(model.t[i,j] for i in model.N) <= h4)
# y[j] is 1 if sum(model.t[i,j] for i in model.N) > 0.
M = 1000000
for j in model.P:
model.constraints.add(sum(model.t[i,j] for i in model.N) <= model.y[j] * M)
# y[j] is 0 if sum(model.t[i,j] for i in model.N) = 0
epsilon = 0.000001
for j in model.P:
model.constraints.add(epsilon * model.y[j] <= sum(model.t[i,j] for i in model.N))
# The number of patients seen (sum(model.y[j] for j in model.P)) must be equal to the number of patients (p).
model.constraints.add(sum(model.y[j] for j in model.P) == p)
# Load dual information
# model.dual = Suffix(direction=Suffix.IMPORT)
# Solve the model
solver = SolverFactory('glpk')
results = solver.solve(model, tee=False) # Set tee=True to show solver output
# Check solver status and termination condition
if (results.solver.status == SolverStatus.ok) and (results.solver.termination_condition == TerminationCondition.optimal):
#print("Solution Found")
# Extract optimal values for variables and objective
t_optimal = {(i, j): model.t[i, j].value for i in model.N for j in model.P}
y_optimal = {j: model.y[j].value for j in model.P}
f_optimal = model.cost.expr()
elif results.solver.termination_condition == TerminationCondition.infeasible:
#print("No feasible solution")
t_optimal, y_optimal, f_optimal = None, None, None
else:
#print("No feasible solution")
t_optimal, y_optimal, f_optimal = None, None, None
return model, t_optimal, y_optimal, f_optimal
Preliminary analysis#
In this section we are going to do a preliminary numerical analysis of the problem posed above, for a given set of parameters.
# Parameters definition:
n=50; p=500; h1=6; h2=1; h4=4
h3_1_2 = 0
h3_3_4 = 0.30
h3_5_6 = 0.55
h3_7_8 = 0.80
h3_9_10 = 1
np.random.seed(123)
w = np.random.randint(1, 11, p)
# Problem execution:
model, t_optimal, y_optimal, f_optimal = hospital_relaxed_integer_model(n, p, w, h1, h2, h3_1_2, h3_3_4, h3_5_6, h3_7_8, h3_9_10, h4)
Optimal values#
Decision variables
The optimal values for the \(t_{ij}\) decision variables for the given set of parameters are the following:
t_optimal
{(0, 0): 0.0,
(0, 1): 0.0,
(0, 2): 0.0,
(0, 3): 0.0,
(0, 4): 0.0,
(0, 5): 0.0,
(0, 6): 0.0,
(0, 7): 0.0,
(0, 8): 0.0,
(0, 9): 0.0,
(0, 10): 0.0,
(0, 11): 0.0,
(0, 12): 0.0,
(0, 13): 0.0,
(0, 14): 0.0,
(0, 15): 0.0,
(0, 16): 0.0,
(0, 17): 0.0,
(0, 18): 0.0,
(0, 19): 0.0,
(0, 20): 0.0,
(0, 21): 0.0,
(0, 22): 0.0,
(0, 23): 0.0,
(0, 24): 0.0,
(0, 25): 0.0,
(0, 26): 0.0,
(0, 27): 0.0,
(0, 28): 0.0,
(0, 29): 0.0,
(0, 30): 0.0,
(0, 31): 0.0,
(0, 32): 0.0,
(0, 33): 0.0,
(0, 34): 0.0,
(0, 35): 0.0,
(0, 36): 0.0,
(0, 37): 0.0,
(0, 38): 0.0,
(0, 39): 0.0,
(0, 40): 0.0,
(0, 41): 0.0,
(0, 42): 0.0,
(0, 43): 0.0,
(0, 44): 0.0,
(0, 45): 0.0,
(0, 46): 0.0,
(0, 47): 0.0,
(0, 48): 0.0,
(0, 49): 0.0,
(0, 50): 0.0,
(0, 51): 0.0,
(0, 52): 0.0,
(0, 53): 0.0,
(0, 54): 0.0,
(0, 55): 0.0,
(0, 56): 0.0,
(0, 57): 0.0,
(0, 58): 0.0,
(0, 59): 0.0,
(0, 60): 0.0,
(0, 61): 0.0,
(0, 62): 0.0,
(0, 63): 0.0,
(0, 64): 0.0,
(0, 65): 0.0,
(0, 66): 0.0,
(0, 67): 0.0,
(0, 68): 0.0,
(0, 69): 0.0,
(0, 70): 0.0,
(0, 71): 0.0,
(0, 72): 0.0,
(0, 73): 0.0,
(0, 74): 0.0,
(0, 75): 0.0,
(0, 76): 0.0,
(0, 77): 0.0,
(0, 78): 0.0,
(0, 79): 0.0,
(0, 80): 0.0,
(0, 81): 0.0,
(0, 82): 0.0,
(0, 83): 0.0,
(0, 84): 0.0,
(0, 85): 0.0,
(0, 86): 0.0,
(0, 87): 0.0,
(0, 88): 0.0,
(0, 89): 0.0,
(0, 90): 0.0,
(0, 91): 0.0,
(0, 92): 0.0,
(0, 93): 0.0,
(0, 94): 0.0,
(0, 95): 0.0,
(0, 96): 0.0,
(0, 97): 0.0,
(0, 98): 0.0,
(0, 99): 0.0,
(0, 100): 0.0,
(0, 101): 0.0,
(0, 102): 0.0,
(0, 103): 0.0,
(0, 104): 0.0,
(0, 105): 0.0,
(0, 106): 0.0,
(0, 107): 0.0,
(0, 108): 0.0,
(0, 109): 0.0,
(0, 110): 0.0,
(0, 111): 0.0,
(0, 112): 0.0,
(0, 113): 0.0,
(0, 114): 0.0,
(0, 115): 0.0,
(0, 116): 0.0,
(0, 117): 0.0,
(0, 118): 0.0,
(0, 119): 0.0,
(0, 120): 0.0,
(0, 121): 0.0,
(0, 122): 0.0,
(0, 123): 0.0,
(0, 124): 0.0,
(0, 125): 0.0,
(0, 126): 0.0,
(0, 127): 0.0,
(0, 128): 0.0,
(0, 129): 0.0,
(0, 130): 0.0,
(0, 131): 0.0,
(0, 132): 0.0,
(0, 133): 0.0,
(0, 134): 0.0,
(0, 135): 0.0,
(0, 136): 0.0,
(0, 137): 0.0,
(0, 138): 0.0,
(0, 139): 0.0,
(0, 140): 0.0,
(0, 141): 0.0,
(0, 142): 0.0,
(0, 143): 0.0,
(0, 144): 0.0,
(0, 145): 0.0,
(0, 146): 0.0,
(0, 147): 0.0,
(0, 148): 0.0,
(0, 149): 0.0,
(0, 150): 0.0,
(0, 151): 0.0,
(0, 152): 0.0,
(0, 153): 0.0,
(0, 154): 0.0,
(0, 155): 0.0,
(0, 156): 0.0,
(0, 157): 0.0,
(0, 158): 0.0,
(0, 159): 0.0,
(0, 160): 0.0,
(0, 161): 0.0,
(0, 162): 0.0,
(0, 163): 0.0,
(0, 164): 0.0,
(0, 165): 0.0,
(0, 166): 0.0,
(0, 167): 0.0,
(0, 168): 0.0,
(0, 169): 0.0,
(0, 170): 0.0,
(0, 171): 0.0,
(0, 172): 0.0,
(0, 173): 0.0,
(0, 174): 0.0,
(0, 175): 0.0,
(0, 176): 0.0,
(0, 177): 0.0,
(0, 178): 0.0,
(0, 179): 0.0,
(0, 180): 0.0,
(0, 181): 0.0,
(0, 182): 0.0,
(0, 183): 0.0,
(0, 184): 0.0,
(0, 185): 0.0,
(0, 186): 0.0,
(0, 187): 0.0,
(0, 188): 0.0,
(0, 189): 0.0,
(0, 190): 0.0,
(0, 191): 0.0,
(0, 192): 0.0,
(0, 193): 0.0,
(0, 194): 0.0,
(0, 195): 0.0,
(0, 196): 0.0,
(0, 197): 0.0,
(0, 198): 0.0,
(0, 199): 0.0,
(0, 200): 0.0,
(0, 201): 0.0,
(0, 202): 0.0,
(0, 203): 0.0,
(0, 204): 0.0,
(0, 205): 0.0,
(0, 206): 0.0,
(0, 207): 0.0,
(0, 208): 0.0,
(0, 209): 0.0,
(0, 210): 0.0,
(0, 211): 0.0,
(0, 212): 0.0,
(0, 213): 0.0,
(0, 214): 0.0,
(0, 215): 0.0,
(0, 216): 0.0,
(0, 217): 0.0,
(0, 218): 0.0,
(0, 219): 0.0,
(0, 220): 0.0,
(0, 221): 0.0,
(0, 222): 0.0,
(0, 223): 0.0,
(0, 224): 0.0,
(0, 225): 0.0,
(0, 226): 0.0,
(0, 227): 0.0,
(0, 228): 0.0,
(0, 229): 0.0,
(0, 230): 0.0,
(0, 231): 0.0,
(0, 232): 0.0,
(0, 233): 0.0,
(0, 234): 0.0,
(0, 235): 0.0,
(0, 236): 0.0,
(0, 237): 0.0,
(0, 238): 0.0,
(0, 239): 0.0,
(0, 240): 0.0,
(0, 241): 0.0,
(0, 242): 0.0,
(0, 243): 0.0,
(0, 244): 0.0,
(0, 245): 0.0,
(0, 246): 0.0,
(0, 247): 0.0,
(0, 248): 0.0,
(0, 249): 0.0,
(0, 250): 0.0,
(0, 251): 0.0,
(0, 252): 0.0,
(0, 253): 0.0,
(0, 254): 0.0,
(0, 255): 0.0,
(0, 256): 0.0,
(0, 257): 0.0,
(0, 258): 0.0,
(0, 259): 0.0,
(0, 260): 0.0,
(0, 261): 0.0,
(0, 262): 0.0,
(0, 263): 0.0,
(0, 264): 0.0,
(0, 265): 0.0,
(0, 266): 0.0,
(0, 267): 0.0,
(0, 268): 0.0,
(0, 269): 0.0,
(0, 270): 0.0,
(0, 271): 0.0,
(0, 272): 0.0,
(0, 273): 0.0,
(0, 274): 0.0,
(0, 275): 0.0,
(0, 276): 0.0,
(0, 277): 0.0,
(0, 278): 0.0,
(0, 279): 0.0,
(0, 280): 0.0,
(0, 281): 0.0,
(0, 282): 0.0,
(0, 283): 0.0,
(0, 284): 0.0,
(0, 285): 0.0,
(0, 286): 0.0,
(0, 287): 0.0,
(0, 288): 0.0,
(0, 289): 0.0,
(0, 290): 0.0,
(0, 291): 0.0,
(0, 292): 0.0,
(0, 293): 0.0,
(0, 294): 0.0,
(0, 295): 0.0,
(0, 296): 0.0,
(0, 297): 0.0,
(0, 298): 0.0,
(0, 299): 0.0,
(0, 300): 0.0,
(0, 301): 0.0,
(0, 302): 0.0,
(0, 303): 0.0,
(0, 304): 0.0,
(0, 305): 0.0,
(0, 306): 0.0,
(0, 307): 0.0,
(0, 308): 0.0,
(0, 309): 0.0,
(0, 310): 0.0,
(0, 311): 0.0,
(0, 312): 0.0,
(0, 313): 0.0,
(0, 314): 0.0,
(0, 315): 0.0,
(0, 316): 0.0,
(0, 317): 0.0,
(0, 318): 0.0,
(0, 319): 0.0,
(0, 320): 0.0,
(0, 321): 0.0,
(0, 322): 0.0,
(0, 323): 0.0,
(0, 324): 0.0,
(0, 325): 0.0,
(0, 326): 0.0,
(0, 327): 0.0,
(0, 328): 0.0,
(0, 329): 0.0,
(0, 330): 0.0,
(0, 331): 0.0,
(0, 332): 0.0,
(0, 333): 0.0,
(0, 334): 0.0,
(0, 335): 0.0,
(0, 336): 0.0,
(0, 337): 0.0,
(0, 338): 0.0,
(0, 339): 0.0,
(0, 340): 0.0,
(0, 341): 0.0,
(0, 342): 0.0,
(0, 343): 0.0,
(0, 344): 0.0,
(0, 345): 0.0,
(0, 346): 0.0,
(0, 347): 0.0,
(0, 348): 0.0,
(0, 349): 0.0,
(0, 350): 0.0,
(0, 351): 0.0,
(0, 352): 0.0,
(0, 353): 0.0,
(0, 354): 0.0,
(0, 355): 0.0,
(0, 356): 0.0,
(0, 357): 0.0,
(0, 358): 0.0,
(0, 359): 0.0,
(0, 360): 0.0,
(0, 361): 0.0,
(0, 362): 0.0,
(0, 363): 0.0,
(0, 364): 0.0,
(0, 365): 0.0,
(0, 366): 0.0,
(0, 367): 0.0,
(0, 368): 0.0,
(0, 369): 0.0,
(0, 370): 0.0,
(0, 371): 0.0,
(0, 372): 0.0,
(0, 373): 0.0,
(0, 374): 0.0,
(0, 375): 0.0,
(0, 376): 0.0,
(0, 377): 0.0,
(0, 378): 0.0,
(0, 379): 0.0,
(0, 380): 0.0,
(0, 381): 0.0,
(0, 382): 0.0,
(0, 383): 0.0,
(0, 384): 0.0,
(0, 385): 0.0,
(0, 386): 0.0,
(0, 387): 0.0,
(0, 388): 0.0,
(0, 389): 0.0,
(0, 390): 0.0,
(0, 391): 0.0,
(0, 392): 0.0,
(0, 393): 0.0,
(0, 394): 0.0,
(0, 395): 0.0,
(0, 396): 0.0,
(0, 397): 0.0,
(0, 398): 0.0,
(0, 399): 0.0,
(0, 400): 0.0,
(0, 401): 0.0,
(0, 402): 0.0,
(0, 403): 0.0,
(0, 404): 0.0,
(0, 405): 0.0,
(0, 406): 0.0,
(0, 407): 0.0,
(0, 408): 0.0,
(0, 409): 0.0,
(0, 410): 0.0,
(0, 411): 0.0,
(0, 412): 0.0,
(0, 413): 0.0,
(0, 414): 0.0,
(0, 415): 0.0,
(0, 416): 0.0,
(0, 417): 0.0,
(0, 418): 0.0,
(0, 419): 0.0,
(0, 420): 0.0,
(0, 421): 0.0,
(0, 422): 0.0,
(0, 423): 0.0,
(0, 424): 0.0,
(0, 425): 0.0,
(0, 426): 0.0,
(0, 427): 0.0,
(0, 428): 0.0,
(0, 429): 0.0,
(0, 430): 0.0,
(0, 431): 0.0,
(0, 432): 0.0,
(0, 433): 0.0,
(0, 434): 0.0,
(0, 435): 0.0,
(0, 436): 0.0,
(0, 437): 0.0,
(0, 438): 0.0,
(0, 439): 0.0,
(0, 440): 0.0,
(0, 441): 0.0,
(0, 442): 0.0,
(0, 443): 0.0,
(0, 444): 0.0,
(0, 445): 0.0,
(0, 446): 0.0,
(0, 447): 0.0,
(0, 448): 0.0,
(0, 449): 0.0,
(0, 450): 0.0,
(0, 451): 0.0,
(0, 452): 0.0,
(0, 453): 0.0,
(0, 454): 0.0,
(0, 455): 0.0,
(0, 456): 0.0,
(0, 457): 0.0,
(0, 458): 0.0,
(0, 459): 0.0,
(0, 460): 0.0,
(0, 461): 0.0,
(0, 462): 0.0,
(0, 463): 0.0,
(0, 464): 0.0,
(0, 465): 0.0,
(0, 466): 0.0,
(0, 467): 0.0,
(0, 468): 0.0,
(0, 469): 0.0,
(0, 470): 0.0,
(0, 471): 0.0,
(0, 472): 0.0,
(0, 473): 0.0,
(0, 474): 0.0,
(0, 475): 0.0,
(0, 476): 0.0,
(0, 477): 0.0,
(0, 478): 0.450000000000001,
(0, 479): 0.0,
(0, 480): 0.0,
(0, 481): 0.0,
(0, 482): 0.0,
(0, 483): 0.0,
(0, 484): 0.0,
(0, 485): 0.0,
(0, 486): 0.0,
(0, 487): 0.55,
(0, 488): 0.0,
(0, 489): 0.0,
(0, 490): 0.0,
(0, 491): 0.3,
(0, 492): 0.55,
(0, 493): 1.0,
(0, 494): 0.0,
(0, 495): 0.8,
(0, 496): 1.0,
(0, 497): 0.0,
(0, 498): 0.55,
(0, 499): 0.8,
(1, 0): 0.0,
(1, 1): 0.0,
(1, 2): 0.0,
(1, 3): 0.0,
(1, 4): 0.0,
(1, 5): 0.0,
(1, 6): 0.0,
(1, 7): 0.0,
(1, 8): 0.0,
(1, 9): 0.0,
(1, 10): 0.0,
(1, 11): 0.0,
(1, 12): 0.0,
(1, 13): 1.0,
(1, 14): 0.0,
(1, 15): 0.550000000000004,
(1, 16): 0.0,
(1, 17): 0.0,
(1, 18): 0.55,
(1, 19): 0.0,
(1, 20): 0.8,
(1, 21): 0.0,
(1, 22): 0.3,
(1, 23): 0.55,
(1, 24): 0.8,
(1, 25): 0.3,
(1, 26): 0.55,
(1, 27): 0.599999999999997,
(1, 28): 0.0,
(1, 29): 0.0,
(1, 30): 0.0,
(1, 31): 0.0,
(1, 32): 0.0,
(1, 33): 0.0,
(1, 34): 0.0,
(1, 35): 0.0,
(1, 36): 0.0,
(1, 37): 0.0,
(1, 38): 0.0,
(1, 39): 0.0,
(1, 40): 0.0,
(1, 41): 0.0,
(1, 42): 0.0,
(1, 43): 0.0,
(1, 44): 0.0,
(1, 45): 0.0,
(1, 46): 0.0,
(1, 47): 0.0,
(1, 48): 0.0,
(1, 49): 0.0,
(1, 50): 0.0,
(1, 51): 0.0,
(1, 52): 0.0,
(1, 53): 0.0,
(1, 54): 0.0,
(1, 55): 0.0,
(1, 56): 0.0,
(1, 57): 0.0,
(1, 58): 0.0,
(1, 59): 0.0,
(1, 60): 0.0,
(1, 61): 0.0,
(1, 62): 0.0,
(1, 63): 0.0,
(1, 64): 0.0,
(1, 65): 0.0,
(1, 66): 0.0,
(1, 67): 0.0,
(1, 68): 0.0,
(1, 69): 0.0,
(1, 70): 0.0,
(1, 71): 0.0,
(1, 72): 0.0,
(1, 73): 0.0,
(1, 74): 0.0,
(1, 75): 0.0,
(1, 76): 0.0,
(1, 77): 0.0,
(1, 78): 0.0,
(1, 79): 0.0,
(1, 80): 0.0,
(1, 81): 0.0,
(1, 82): 0.0,
(1, 83): 0.0,
(1, 84): 0.0,
(1, 85): 0.0,
(1, 86): 0.0,
(1, 87): 0.0,
(1, 88): 0.0,
(1, 89): 0.0,
(1, 90): 0.0,
(1, 91): 0.0,
(1, 92): 0.0,
(1, 93): 0.0,
(1, 94): 0.0,
(1, 95): 0.0,
(1, 96): 0.0,
(1, 97): 0.0,
(1, 98): 0.0,
(1, 99): 0.0,
(1, 100): 0.0,
(1, 101): 0.0,
(1, 102): 0.0,
(1, 103): 0.0,
(1, 104): 0.0,
(1, 105): 0.0,
(1, 106): 0.0,
(1, 107): 0.0,
(1, 108): 0.0,
(1, 109): 0.0,
(1, 110): 0.0,
(1, 111): 0.0,
(1, 112): 0.0,
(1, 113): 0.0,
(1, 114): 0.0,
(1, 115): 0.0,
(1, 116): 0.0,
(1, 117): 0.0,
(1, 118): 0.0,
(1, 119): 0.0,
(1, 120): 0.0,
(1, 121): 0.0,
(1, 122): 0.0,
(1, 123): 0.0,
(1, 124): 0.0,
(1, 125): 0.0,
(1, 126): 0.0,
(1, 127): 0.0,
(1, 128): 0.0,
(1, 129): 0.0,
(1, 130): 0.0,
(1, 131): 0.0,
(1, 132): 0.0,
(1, 133): 0.0,
(1, 134): 0.0,
(1, 135): 0.0,
(1, 136): 0.0,
(1, 137): 0.0,
(1, 138): 0.0,
(1, 139): 0.0,
(1, 140): 0.0,
(1, 141): 0.0,
(1, 142): 0.0,
(1, 143): 0.0,
(1, 144): 0.0,
(1, 145): 0.0,
(1, 146): 0.0,
(1, 147): 0.0,
(1, 148): 0.0,
(1, 149): 0.0,
(1, 150): 0.0,
(1, 151): 0.0,
(1, 152): 0.0,
(1, 153): 0.0,
(1, 154): 0.0,
(1, 155): 0.0,
(1, 156): 0.0,
(1, 157): 0.0,
(1, 158): 0.0,
(1, 159): 0.0,
(1, 160): 0.0,
(1, 161): 0.0,
(1, 162): 0.0,
(1, 163): 0.0,
(1, 164): 0.0,
(1, 165): 0.0,
(1, 166): 0.0,
(1, 167): 0.0,
(1, 168): 0.0,
(1, 169): 0.0,
(1, 170): 0.0,
(1, 171): 0.0,
(1, 172): 0.0,
(1, 173): 0.0,
(1, 174): 0.0,
(1, 175): 0.0,
(1, 176): 0.0,
(1, 177): 0.0,
(1, 178): 0.0,
(1, 179): 0.0,
(1, 180): 0.0,
(1, 181): 0.0,
(1, 182): 0.0,
(1, 183): 0.0,
(1, 184): 0.0,
(1, 185): 0.0,
(1, 186): 0.0,
(1, 187): 0.0,
(1, 188): 0.0,
(1, 189): 0.0,
(1, 190): 0.0,
(1, 191): 0.0,
(1, 192): 0.0,
(1, 193): 0.0,
(1, 194): 0.0,
(1, 195): 0.0,
(1, 196): 0.0,
(1, 197): 0.0,
(1, 198): 0.0,
(1, 199): 0.0,
(1, 200): 0.0,
(1, 201): 0.0,
(1, 202): 0.0,
(1, 203): 0.0,
(1, 204): 0.0,
(1, 205): 0.0,
(1, 206): 0.0,
(1, 207): 0.0,
(1, 208): 0.0,
(1, 209): 0.0,
(1, 210): 0.0,
(1, 211): 0.0,
(1, 212): 0.0,
(1, 213): 0.0,
(1, 214): 0.0,
(1, 215): 0.0,
(1, 216): 0.0,
(1, 217): 0.0,
(1, 218): 0.0,
(1, 219): 0.0,
(1, 220): 0.0,
(1, 221): 0.0,
(1, 222): 0.0,
(1, 223): 0.0,
(1, 224): 0.0,
(1, 225): 0.0,
(1, 226): 0.0,
(1, 227): 0.0,
(1, 228): 0.0,
(1, 229): 0.0,
(1, 230): 0.0,
(1, 231): 0.0,
(1, 232): 0.0,
(1, 233): 0.0,
(1, 234): 0.0,
(1, 235): 0.0,
(1, 236): 0.0,
(1, 237): 0.0,
(1, 238): 0.0,
(1, 239): 0.0,
(1, 240): 0.0,
(1, 241): 0.0,
(1, 242): 0.0,
(1, 243): 0.0,
(1, 244): 0.0,
(1, 245): 0.0,
(1, 246): 0.0,
(1, 247): 0.0,
(1, 248): 0.0,
(1, 249): 0.0,
(1, 250): 0.0,
(1, 251): 0.0,
(1, 252): 0.0,
(1, 253): 0.0,
(1, 254): 0.0,
(1, 255): 0.0,
(1, 256): 0.0,
(1, 257): 0.0,
(1, 258): 0.0,
(1, 259): 0.0,
(1, 260): 0.0,
(1, 261): 0.0,
(1, 262): 0.0,
(1, 263): 0.0,
(1, 264): 0.0,
(1, 265): 0.0,
(1, 266): 0.0,
(1, 267): 0.0,
(1, 268): 0.0,
(1, 269): 0.0,
(1, 270): 0.0,
(1, 271): 0.0,
(1, 272): 0.0,
(1, 273): 0.0,
(1, 274): 0.0,
(1, 275): 0.0,
(1, 276): 0.0,
(1, 277): 0.0,
(1, 278): 0.0,
(1, 279): 0.0,
(1, 280): 0.0,
(1, 281): 0.0,
(1, 282): 0.0,
(1, 283): 0.0,
(1, 284): 0.0,
(1, 285): 0.0,
(1, 286): 0.0,
(1, 287): 0.0,
(1, 288): 0.0,
(1, 289): 0.0,
(1, 290): 0.0,
(1, 291): 0.0,
(1, 292): 0.0,
(1, 293): 0.0,
(1, 294): 0.0,
(1, 295): 0.0,
(1, 296): 0.0,
(1, 297): 0.0,
(1, 298): 0.0,
(1, 299): 0.0,
(1, 300): 0.0,
(1, 301): 0.0,
(1, 302): 0.0,
(1, 303): 0.0,
(1, 304): 0.0,
(1, 305): 0.0,
(1, 306): 0.0,
(1, 307): 0.0,
(1, 308): 0.0,
(1, 309): 0.0,
(1, 310): 0.0,
(1, 311): 0.0,
(1, 312): 0.0,
(1, 313): 0.0,
(1, 314): 0.0,
(1, 315): 0.0,
(1, 316): 0.0,
(1, 317): 0.0,
(1, 318): 0.0,
(1, 319): 0.0,
(1, 320): 0.0,
(1, 321): 0.0,
(1, 322): 0.0,
(1, 323): 0.0,
(1, 324): 0.0,
(1, 325): 0.0,
(1, 326): 0.0,
(1, 327): 0.0,
(1, 328): 0.0,
(1, 329): 0.0,
(1, 330): 0.0,
(1, 331): 0.0,
(1, 332): 0.0,
(1, 333): 0.0,
(1, 334): 0.0,
(1, 335): 0.0,
(1, 336): 0.0,
(1, 337): 0.0,
(1, 338): 0.0,
(1, 339): 0.0,
(1, 340): 0.0,
(1, 341): 0.0,
(1, 342): 0.0,
(1, 343): 0.0,
(1, 344): 0.0,
(1, 345): 0.0,
(1, 346): 0.0,
(1, 347): 0.0,
(1, 348): 0.0,
(1, 349): 0.0,
(1, 350): 0.0,
(1, 351): 0.0,
(1, 352): 0.0,
(1, 353): 0.0,
(1, 354): 0.0,
(1, 355): 0.0,
(1, 356): 0.0,
(1, 357): 0.0,
(1, 358): 0.0,
(1, 359): 0.0,
(1, 360): 0.0,
(1, 361): 0.0,
(1, 362): 0.0,
(1, 363): 0.0,
(1, 364): 0.0,
(1, 365): 0.0,
(1, 366): 0.0,
(1, 367): 0.0,
(1, 368): 0.0,
(1, 369): 0.0,
(1, 370): 0.0,
(1, 371): 0.0,
(1, 372): 0.0,
(1, 373): 0.0,
(1, 374): 0.0,
(1, 375): 0.0,
(1, 376): 0.0,
(1, 377): 0.0,
(1, 378): 0.0,
(1, 379): 0.0,
(1, 380): 0.0,
(1, 381): 0.0,
(1, 382): 0.0,
(1, 383): 0.0,
(1, 384): 0.0,
(1, 385): 0.0,
(1, 386): 0.0,
(1, 387): 0.0,
(1, 388): 0.0,
(1, 389): 0.0,
(1, 390): 0.0,
(1, 391): 0.0,
(1, 392): 0.0,
(1, 393): 0.0,
(1, 394): 0.0,
(1, 395): 0.0,
(1, 396): 0.0,
(1, 397): 0.0,
(1, 398): 0.0,
(1, 399): 0.0,
(1, 400): 0.0,
(1, 401): 0.0,
(1, 402): 0.0,
(1, 403): 0.0,
(1, 404): 0.0,
(1, 405): 0.0,
(1, 406): 0.0,
(1, 407): 0.0,
(1, 408): 0.0,
(1, 409): 0.0,
(1, 410): 0.0,
(1, 411): 0.0,
(1, 412): 0.0,
(1, 413): 0.0,
(1, 414): 0.0,
(1, 415): 0.0,
(1, 416): 0.0,
(1, 417): 0.0,
(1, 418): 0.0,
(1, 419): 0.0,
(1, 420): 0.0,
(1, 421): 0.0,
(1, 422): 0.0,
(1, 423): 0.0,
(1, 424): 0.0,
(1, 425): 0.0,
(1, 426): 0.0,
(1, 427): 0.0,
(1, 428): 0.0,
(1, 429): 0.0,
(1, 430): 0.0,
(1, 431): 0.0,
(1, 432): 0.0,
(1, 433): 0.0,
(1, 434): 0.0,
(1, 435): 0.0,
(1, 436): 0.0,
(1, 437): 0.0,
(1, 438): 0.0,
(1, 439): 0.0,
(1, 440): 0.0,
(1, 441): 0.0,
(1, 442): 0.0,
(1, 443): 0.0,
(1, 444): 0.0,
(1, 445): 0.0,
(1, 446): 0.0,
(1, 447): 0.0,
(1, 448): 0.0,
(1, 449): 0.0,
(1, 450): 0.0,
(1, 451): 0.0,
(1, 452): 0.0,
(1, 453): 0.0,
(1, 454): 0.0,
(1, 455): 0.0,
(1, 456): 0.0,
(1, 457): 0.0,
(1, 458): 0.0,
(1, 459): 0.0,
(1, 460): 0.0,
(1, 461): 0.0,
(1, 462): 0.0,
(1, 463): 0.0,
(1, 464): 0.0,
(1, 465): 0.0,
(1, 466): 0.0,
(1, 467): 0.0,
(1, 468): 0.0,
(1, 469): 0.0,
(1, 470): 0.0,
(1, 471): 0.0,
(1, 472): 0.0,
(1, 473): 0.0,
(1, 474): 0.0,
(1, 475): 0.0,
(1, 476): 0.0,
(1, 477): 0.0,
(1, 478): 0.0,
(1, 479): 0.0,
(1, 480): 0.0,
(1, 481): 0.0,
(1, 482): 0.0,
(1, 483): 0.0,
(1, 484): 0.0,
(1, 485): 0.0,
(1, 486): 0.0,
(1, 487): 0.0,
(1, 488): 0.0,
(1, 489): 0.0,
(1, 490): 0.0,
(1, 491): 0.0,
(1, 492): 0.0,
(1, 493): 0.0,
(1, 494): 0.0,
(1, 495): 0.0,
(1, 496): 0.0,
(1, 497): 0.0,
(1, 498): 0.0,
(1, 499): 0.0,
...}
The optimal values for the \(y_{j}\) decision variables for the given set of parameters are the following:
y_optimal
{0: 3e-07,
1: 3e-07,
2: 8e-07,
3: 0.0,
4: 3e-07,
5: 1e-06,
6: 8e-07,
7: 0.0,
8: 0.0,
9: 0.0,
10: 1e-06,
11: 0.0,
12: 0.0,
13: 4e-06,
14: 3e-07,
15: 5.5000000000002e-07,
16: 0.0,
17: 0.0,
18: 5.5e-07,
19: 0.0,
20: 8e-07,
21: 3e-07,
22: 3e-07,
23: 5.5e-07,
24: 8e-07,
25: 3e-07,
26: 5.5e-07,
27: 1e-06,
28: 0.0,
29: 8e-07,
30: 4e-06,
31: 3e-07,
32: 5.5e-07,
33: 8e-07,
34: 0.0,
35: 5.5e-07,
36: 8e-07,
37: 3e-07,
38: 0.0,
39: 1e-06,
40: 3e-07,
41: 5.5e-07,
42: 0.0,
43: 3e-07,
44: 8e-07,
45: 3e-07,
46: 5.5e-07,
47: 5.5e-07,
48: 8e-07,
49: 3e-07,
50: 0.0,
51: 8e-07,
52: 5.5e-07,
53: 8e-07,
54: 8e-07,
55: 8e-07,
56: 0.0,
57: 5.5e-07,
58: 8e-07,
59: 4e-06,
60: 3e-07,
61: 5.5e-07,
62: 1e-06,
63: 0.0,
64: 3e-07,
65: 0.0,
66: 0.0,
67: 3e-07,
68: 5.5e-07,
69: 4e-06,
70: 0.0,
71: 1e-06,
72: 0.0,
73: 8e-07,
74: 3e-07,
75: 3e-07,
76: 5.5e-07,
77: 4e-06,
78: 7.99999999999997e-07,
79: 4.00000000000001e-06,
80: 3e-07,
81: 3e-07,
82: 3e-07,
83: 3e-07,
84: 1e-06,
85: 8e-07,
86: 4e-06,
87: 8e-07,
88: 8e-07,
89: 3e-07,
90: 4e-06,
91: 8e-07,
92: 8e-07,
93: 8e-07,
94: 0.0,
95: 2.99999999999984e-07,
96: 5.5e-07,
97: 3e-07,
98: 0.0,
99: 0.0,
100: 5.5e-07,
101: 1e-06,
102: 8e-07,
103: 1e-06,
104: 1e-06,
105: 0.0,
106: 0.0,
107: 3e-07,
108: 0.0,
109: 3e-07,
110: 5.5e-07,
111: 8e-07,
112: 8e-07,
113: 0.0,
114: 5.5e-07,
115: 3e-07,
116: 3e-07,
117: 8e-07,
118: 8e-07,
119: 1e-06,
120: 8e-07,
121: 5.5e-07,
122: 5.5e-07,
123: 8e-07,
124: 0.0,
125: 0.0,
126: 1e-06,
127: 1e-06,
128: 1e-06,
129: 5.5e-07,
130: 1e-06,
131: 8e-07,
132: 0.0,
133: 8e-07,
134: 1e-06,
135: 8e-07,
136: 1e-06,
137: 0.0,
138: 8e-07,
139: 0.0,
140: 8e-07,
141: 1e-06,
142: 1e-06,
143: 8e-07,
144: 0.0,
145: 3e-07,
146: 0.0,
147: 1e-06,
148: 8e-07,
149: 5.5e-07,
150: 0.0,
151: 3e-07,
152: 5.5e-07,
153: 3e-07,
154: 3e-07,
155: 1e-06,
156: 3e-07,
157: 3e-07,
158: 8e-07,
159: 8e-07,
160: 4e-06,
161: 0.0,
162: 3e-07,
163: 1e-06,
164: 3e-07,
165: 8e-07,
166: 1e-06,
167: 1e-06,
168: 3e-07,
169: 3e-07,
170: 5.5e-07,
171: 8e-07,
172: 0.0,
173: 1e-06,
174: 8e-07,
175: 8e-07,
176: 5.5e-07,
177: 5.5e-07,
178: 5.5e-07,
179: 0.0,
180: 1e-06,
181: 4e-06,
182: 3e-07,
183: 5.5e-07,
184: 0.0,
185: 5.5e-07,
186: 1e-06,
187: 3e-07,
188: 5.5e-07,
189: 3e-07,
190: 0.0,
191: 3e-07,
192: 8e-07,
193: 8e-07,
194: 3e-07,
195: 5.5e-07,
196: 0.0,
197: 8e-07,
198: 5.5e-07,
199: 1e-06,
200: 0.0,
201: 3e-07,
202: 1e-06,
203: 5.5e-07,
204: 0.0,
205: 4e-06,
206: 3e-07,
207: 3e-07,
208: 3e-07,
209: 0.0,
210: 8e-07,
211: 8e-07,
212: 3e-07,
213: 0.0,
214: 8e-07,
215: 3e-07,
216: 8e-07,
217: 5.5e-07,
218: 4e-06,
219: 1e-06,
220: 1e-06,
221: 5.5e-07,
222: 8e-07,
223: 1e-06,
224: 5.5e-07,
225: 1.25000000000028e-06,
226: 3e-07,
227: 5.5e-07,
228: 3e-07,
229: 3e-07,
230: 0.0,
231: 8e-07,
232: 1e-06,
233: 5.5e-07,
234: 8e-07,
235: 8e-07,
236: 8e-07,
237: 5.5e-07,
238: 0.0,
239: 0.0,
240: 1e-06,
241: 0.0,
242: 0.0,
243: 5.5e-07,
244: 5.5e-07,
245: 5.5e-07,
246: 5.5e-07,
247: 0.0,
248: 8e-07,
249: 0.0,
250: 3e-07,
251: 3e-07,
252: 8e-07,
253: 8e-07,
254: 3e-07,
255: 8e-07,
256: 0.0,
257: 1e-06,
258: 5.5e-07,
259: 0.0,
260: 8e-07,
261: 5.5e-07,
262: 1.55e-06,
263: 0.0,
264: 3e-07,
265: 0.0,
266: 3e-07,
267: 8e-07,
268: 8e-07,
269: 8e-07,
270: 5.5e-07,
271: 3e-07,
272: 8e-07,
273: 3e-07,
274: 5.5e-07,
275: 0.0,
276: 5.5e-07,
277: 1e-06,
278: 0.0,
279: 3e-07,
280: 1e-06,
281: 0.0,
282: 5.5e-07,
283: 8e-07,
284: 0.0,
285: 5.5e-07,
286: 0.0,
287: 8e-07,
288: 0.0,
289: 3e-07,
290: 0.0,
291: 8e-07,
292: 3e-07,
293: 8e-07,
294: 5.5e-07,
295: 0.0,
296: 0.0,
297: 0.0,
298: 3e-07,
299: 8e-07,
300: 5.5e-07,
301: 1e-06,
302: 0.0,
303: 5.5e-07,
304: 3e-07,
305: 8e-07,
306: 5.5e-07,
307: 8e-07,
308: 0.0,
309: 8e-07,
310: 0.0,
311: 3e-07,
312: 0.0,
313: 3e-07,
314: 0.0,
315: 1e-06,
316: 5.5e-07,
317: 0.0,
318: 5.5e-07,
319: 3e-07,
320: 3e-07,
321: 3e-07,
322: 0.0,
323: 3e-07,
324: 0.0,
325: 3e-07,
326: 8e-07,
327: 1e-06,
328: 0.0,
329: 3e-07,
330: 1e-06,
331: 8e-07,
332: 0.0,
333: 5.5e-07,
334: 5.5e-07,
335: 8e-07,
336: 0.0,
337: 8e-07,
338: 1e-06,
339: 1e-06,
340: 0.0,
341: 0.0,
342: 0.0,
343: 8e-07,
344: 5.5e-07,
345: 3e-07,
346: 0.0,
347: 5.5e-07,
348: 1e-06,
349: 5.5e-07,
350: 1e-06,
351: 3e-07,
352: 5.5e-07,
353: 0.0,
354: 1e-06,
355: 0.0,
356: 1e-06,
357: 0.0,
358: 5.5e-07,
359: 1e-06,
360: 1e-06,
361: 5.5e-07,
362: 8e-07,
363: 1e-06,
364: 8e-07,
365: 1e-06,
366: 3e-07,
367: 0.0,
368: 0.0,
369: 1e-06,
370: 1e-06,
371: 5.5e-07,
372: 3e-07,
373: 5.5e-07,
374: 5.5e-07,
375: 3e-07,
376: 3e-07,
377: 8e-07,
378: 3e-07,
379: 0.0,
380: 3e-07,
381: 1e-06,
382: 3e-07,
383: 8e-07,
384: 3e-07,
385: 3e-07,
386: 0.0,
387: 1e-06,
388: 1e-06,
389: 0.0,
390: 3e-07,
391: 3e-07,
392: 8e-07,
393: 1e-06,
394: 3e-07,
395: 8e-07,
396: 1e-06,
397: 8e-07,
398: 0.0,
399: 5.5e-07,
400: 8e-07,
401: 5.5e-07,
402: 8e-07,
403: 1e-06,
404: 0.0,
405: 3e-07,
406: 8e-07,
407: 5.5e-07,
408: 3e-07,
409: 8e-07,
410: 3e-07,
411: 8e-07,
412: 0.0,
413: 8e-07,
414: 8e-07,
415: 1e-06,
416: 8e-07,
417: 1e-06,
418: 0.0,
419: 5.5e-07,
420: 3e-07,
421: 3e-07,
422: 5.5e-07,
423: 3e-07,
424: 3e-07,
425: 1.2e-06,
426: 8e-07,
427: 0.0,
428: 1e-06,
429: 0.0,
430: 0.0,
431: 5.5e-07,
432: 8e-07,
433: 3e-07,
434: 5.5e-07,
435: 1e-06,
436: 3e-07,
437: 5.50000000000003e-07,
438: 1.39999999999999e-06,
439: 8e-07,
440: 3e-07,
441: 8e-07,
442: 8e-07,
443: 8e-07,
444: 5.5e-07,
445: 8e-07,
446: 1e-06,
447: 5.5e-07,
448: 0.0,
449: 8e-07,
450: 8e-07,
451: 3e-07,
452: 5.5e-07,
453: 0.0,
454: 0.0,
455: 8e-07,
456: 3e-07,
457: 8e-07,
458: 1e-06,
459: 2e-06,
460: 5.5e-07,
461: 5.5e-07,
462: 5.5e-07,
463: 8e-07,
464: 8e-07,
465: 1.6e-06,
466: 1e-06,
467: 5.5e-07,
468: 0.0,
469: 5.5e-07,
470: 5.5e-07,
471: 1e-06,
472: 1e-06,
473: 5.5e-07,
474: 0.0,
475: 0.0,
476: 8e-07,
477: 0.0,
478: 2.45e-06,
479: 5.5e-07,
480: 8e-07,
481: 5.5e-07,
482: 5.5e-07,
483: 3e-07,
484: 5.5e-07,
485: 8e-07,
486: 3e-07,
487: 5.5e-07,
488: 3e-07,
489: 5.5e-07,
490: 3e-07,
491: 3e-07,
492: 5.5e-07,
493: 1e-06,
494: 0.0,
495: 8e-07,
496: 1e-06,
497: 1e-06,
498: 5.5e-07,
499: 499.9997008}
For example, the time spent in patient \(j=5\) by tandem \(i=1\), i.e. \(t_{15}\), is:
t_optimal[0,4] # 0 h
0.0
Objective function
In this case the optimal value for the objective function is the following:
f_optimal
2316.600000000006
Time spent in patients#
Now we are going to analyze the time spent in the patients, in this particular case.
We built a function that computes the time spent seeing patient j in a given day . It’s important to notice that a patient could be seen by several nurse-doctor tandems.
# Time spent seeing patient j in a given day (he could be seen by several nurse-doctor tandems).
def time_seeing_patient(j):
return np.sum([t_optimal[i, j] for i in range(0,n)])
For example, total time spent in patient \(j=45\), that is, \(\sum_{i=1}^n t_{i45}\), is the following:
time_seeing_patient(44)
0.8
Using the previous function we can collect the total time spent in each patient in an array.
total_times_per_patient = np.array([time_seeing_patient(j) for j in range(0,p)])
total_times_per_patient
array([0.3 , 0.3 , 0.8 , 0. , 0.3 , 1. , 0.8 , 0. , 0. , 0. , 1. ,
0. , 0. , 4. , 0.3 , 0.55, 0. , 0. , 0.55, 0. , 0.8 , 0.3 ,
0.3 , 0.55, 0.8 , 0.3 , 0.55, 1. , 0. , 0.8 , 4. , 0.3 , 0.55,
0.8 , 0. , 0.55, 0.8 , 0.3 , 0. , 1. , 0.3 , 0.55, 0. , 0.3 ,
0.8 , 0.3 , 0.55, 0.55, 0.8 , 0.3 , 0. , 0.8 , 0.55, 0.8 , 0.8 ,
0.8 , 0. , 0.55, 0.8 , 4. , 0.3 , 0.55, 1. , 0. , 0.3 , 0. ,
0. , 0.3 , 0.55, 4. , 0. , 1. , 0. , 0.8 , 0.3 , 0.3 , 0.55,
4. , 0.8 , 4. , 0.3 , 0.3 , 0.3 , 0.3 , 1. , 0.8 , 4. , 0.8 ,
0.8 , 0.3 , 4. , 0.8 , 0.8 , 0.8 , 0. , 0.3 , 0.55, 0.3 , 0. ,
0. , 0.55, 1. , 0.8 , 1. , 1. , 0. , 0. , 0.3 , 0. , 0.3 ,
0.55, 0.8 , 0.8 , 0. , 0.55, 0.3 , 0.3 , 0.8 , 0.8 , 1. , 0.8 ,
0.55, 0.55, 0.8 , 0. , 0. , 1. , 1. , 1. , 0.55, 1. , 0.8 ,
0. , 0.8 , 1. , 0.8 , 1. , 0. , 0.8 , 0. , 0.8 , 1. , 1. ,
0.8 , 0. , 0.3 , 0. , 1. , 0.8 , 0.55, 0. , 0.3 , 0.55, 0.3 ,
0.3 , 1. , 0.3 , 0.3 , 0.8 , 0.8 , 4. , 0. , 0.3 , 1. , 0.3 ,
0.8 , 1. , 1. , 0.3 , 0.3 , 0.55, 0.8 , 0. , 1. , 0.8 , 0.8 ,
0.55, 0.55, 0.55, 0. , 1. , 4. , 0.3 , 0.55, 0. , 0.55, 1. ,
0.3 , 0.55, 0.3 , 0. , 0.3 , 0.8 , 0.8 , 0.3 , 0.55, 0. , 0.8 ,
0.55, 1. , 0. , 0.3 , 1. , 0.55, 0. , 4. , 0.3 , 0.3 , 0.3 ,
0. , 0.8 , 0.8 , 0.3 , 0. , 0.8 , 0.3 , 0.8 , 0.55, 4. , 1. ,
1. , 0.55, 0.8 , 1. , 0.55, 1.25, 0.3 , 0.55, 0.3 , 0.3 , 0. ,
0.8 , 1. , 0.55, 0.8 , 0.8 , 0.8 , 0.55, 0. , 0. , 1. , 0. ,
0. , 0.55, 0.55, 0.55, 0.55, 0. , 0.8 , 0. , 0.3 , 0.3 , 0.8 ,
0.8 , 0.3 , 0.8 , 0. , 1. , 0.55, 0. , 0.8 , 0.55, 1.55, 0. ,
0.3 , 0. , 0.3 , 0.8 , 0.8 , 0.8 , 0.55, 0.3 , 0.8 , 0.3 , 0.55,
0. , 0.55, 1. , 0. , 0.3 , 1. , 0. , 0.55, 0.8 , 0. , 0.55,
0. , 0.8 , 0. , 0.3 , 0. , 0.8 , 0.3 , 0.8 , 0.55, 0. , 0. ,
0. , 0.3 , 0.8 , 0.55, 1. , 0. , 0.55, 0.3 , 0.8 , 0.55, 0.8 ,
0. , 0.8 , 0. , 0.3 , 0. , 0.3 , 0. , 1. , 0.55, 0. , 0.55,
0.3 , 0.3 , 0.3 , 0. , 0.3 , 0. , 0.3 , 0.8 , 1. , 0. , 0.3 ,
1. , 0.8 , 0. , 0.55, 0.55, 0.8 , 0. , 0.8 , 1. , 1. , 0. ,
0. , 0. , 0.8 , 0.55, 0.3 , 0. , 0.55, 1. , 0.55, 1. , 0.3 ,
0.55, 0. , 1. , 0. , 1. , 0. , 0.55, 1. , 1. , 0.55, 0.8 ,
1. , 0.8 , 1. , 0.3 , 0. , 0. , 1. , 1. , 0.55, 0.3 , 0.55,
0.55, 0.3 , 0.3 , 0.8 , 0.3 , 0. , 0.3 , 1. , 0.3 , 0.8 , 0.3 ,
0.3 , 0. , 1. , 1. , 0. , 0.3 , 0.3 , 0.8 , 1. , 0.3 , 0.8 ,
1. , 0.8 , 0. , 0.55, 0.8 , 0.55, 0.8 , 1. , 0. , 0.3 , 0.8 ,
0.55, 0.3 , 0.8 , 0.3 , 0.8 , 0. , 0.8 , 0.8 , 1. , 0.8 , 1. ,
0. , 0.55, 0.3 , 0.3 , 0.55, 0.3 , 0.3 , 1.2 , 0.8 , 0. , 1. ,
0. , 0. , 0.55, 0.8 , 0.3 , 0.55, 1. , 0.3 , 0.55, 1.4 , 0.8 ,
0.3 , 0.8 , 0.8 , 0.8 , 0.55, 0.8 , 1. , 0.55, 0. , 0.8 , 0.8 ,
0.3 , 0.55, 0. , 0. , 0.8 , 0.3 , 0.8 , 1. , 2. , 0.55, 0.55,
0.55, 0.8 , 0.8 , 1.6 , 1. , 0.55, 0. , 0.55, 0.55, 1. , 1. ,
0.55, 0. , 0. , 0.8 , 0. , 2.45, 0.55, 0.8 , 0.55, 0.55, 0.3 ,
0.55, 0.8 , 0.3 , 0.55, 0.3 , 0.55, 0.3 , 0.3 , 0.55, 1. , 0. ,
0.8 , 1. , 1. , 0.55, 0.8 ])
Average time spent per patient#
Now we can compute some statistics over the time spent in patients, like for example the average time spent per patient.
np.mean(total_times_per_patient)
0.6000000000000005
Max time spent per patient#
The maximum time spent in a single patient is enforced by \(h_4\) constriant, that in this case has been fixed to \(4\).
np.max(total_times_per_patient) # 4 hours
4.000000000000008
Min time spent per patient#
The minimun time spent in a single patient is set by \(h_3^{12}\), in this case, that has been fixed to \(0.1\).
np.min(total_times_per_patient)
0.0
Median of time spent per patient#
np.median(total_times_per_patient)
0.55
\(75\)-quantile of time spent per patient#
np.quantile(total_times_per_patient, 0.75)
0.8
\(25\)-quantile time spent per patient#
np.quantile(total_times_per_patient, 0.25)
0.3
Number of patients seen#
The number of patients seen is \(p=500\) even though we have set \(h_3^{12}=0\), so the new constraint is working well. In addition, we can see as the number of patient seen match with \(\sum_{j=1}^p y_j\), which is something that must always be fulfilled in this new version of the problem.
np.sum(total_times_per_patient > 0)
396
np.sum(list(y_optimal.values()))
500.0
Comparison with the integer (not relaxed) model#
If the binary variable \(y_j\) in the integer model is relaxed in the interval \([0,1]\subset \mathbb{R}\), no changes are produced, since \(y_j\) carries on working as a binary variable, so it is still performing like it did in the non relaxed integer model.
However, if \(y_j\) is relaxed to \(\mathbb{R}^+\) (positive real numbers), then the results of the relaxed model are slightly different to those of the non relaxed, concretely the number of patient seen \((396)\) is not maximum \((p=500)\), so the particular new constraint of this model (with respect to the linear one) is not working, since it is not enforcing the number of patients seen to be equal to \(p\), and this is because \(y_j\) is not working as a binary variable, and, therefore, it is not longer useful to impose that condition.